FC: Histórias de Vida

Não há amor maior

Qualquer que fosse seu alvo inicial, os tiros de morteiros caíram em um orfanato dirigido por um grupo missionário na pequena aldeia vietnamita. Os missionários e uma ou duas crianças morreram imediatamente e várias outras crianças ficaram feridas, incluindo uma menininha de uns oito anos de idade.

As pessoas da aldeia pediram ajuda médica de uma cidade vizinha que possuía contato por rádio com as forças americanas. Finalmente, um médico e uma enfermeira da Marinha americana chegaram em um jipe apenas com sua maleta médica. Determinaram que a menina era a que estava mais gravemente ferida. Sem uma ação rápida, ela morreria por causa do choque e da perda de sangue.

Uma transfusão era imprescindível e era necessário um doador com o mesmo tipo sangüíneo. Um teste rápido revelou que nenhum dos americanos possuía o tipo correto, mas vários dos órfãos que não haviam sido atingidos tinham.

O médico falava um pouco de vietnamita simplificado e a enfermeira possuía uma leve noção de francês aprendido no colégio. Usando essa combinação, juntos e com muita linguagem de sinais improvisada, eles tentaram explicar para a jovem e assustada platéia que, a não ser que pudessem repor uma parte do sangue perdido da menina, ela com certeza morreria. Então perguntaram se alguém estaria disposto a doar um pouco de sangue para ajudar.

Seu pedido encontrou um silêncio estupefato. Após longos momentos, uma mãozinha lenta e hesitantemente levantou-se, abaixou-se e levantou-se novamente.

- Oh, obrigada - disse a enfermeira em francês. - Qual é o seu nome?

- Heng - veio a resposta.

Heng foi rapidamente colocado em um catre, os braços limpos com álcool e uma agulha inserida em sua veia. Durante toda a penosa experiência, Heng permaneceu tenso e em silêncio.

Depois de algum tempo, ele soltou um soluço trêmulo, cobrindo rapidamente seu rosto com a mão livre.

- Está doendo, Heng? - perguntou o médico.

Heng balançou a cabeça, mas, após alguns instantes, outro soluço escapou e mais uma vez ele tentou esconder o choro. Novamente o médico perguntou se a agulha o estava machucando e novamente Heng balançou a cabeça.

Porém agora seus soluços ocasionais haviam dado lugar a um choro constante e silencioso, seus olhos apertados, o punho na boca para abafar seus soluços.

A equipe médica estava preocupada. Algo obviamente estava muito errado. Nesse momento, uma enfermeira vietnamita chegou para ajudar. Vendo o sofrimento do pequeno, ela falou rapidamente com ele em vietnamita, escutou sua resposta e respondeu-lhe com a voz reconfortante. Após um instante, o paciente parou de chorar e olhou interrogativamente para a enfermeira vietnamita. Quando ela assentiu, um ar de grande alívio se espalhou pelo rosto do menino.

Olhando para cima, a enfermeira contou calmamente para os americanos:

- Ele achou que estava morrendo. Entendeu errado. Achou que vocês haviam pedido que ele desse todo o seu sangue para que a menina pudesse viver.

- Mas por que ele estaria disposto a fazer isso? - perguntou a enfermeira da Marinha.

A enfermeira vietnamita repetiu a pergunta para o menino, que respondeu simplesmente:

- Ela é minha amiga.

(John W. Mansur, extraído do Livro Histórias para aquecer o coração)

Ninguém tem amor maior do que este de da sua vida pelos seus amigos. (Joao 15:13)

Jesus se sacrificou de tal maneira por você!

Aula 04: Inversas

Cossecante

Por definição, cossecante é a relação do inverso do seno.

Assim: cossecX = 1/senX

Dado um número real x , tal que x  kπ, considerando a reta s tangente ao circulo trigonométrico no ponto P que intercepta o eixo do seno no ponto C, definimos por cossecante o módulo do segmento que vai do centro da circunferência trigonométrica até o ponto C.

Sinal da cossecante.

Quando o ângulo é do primeiro ou do segundo quadrante seu sinal é positivo, quando do terceiro ou quarto seu sinal é negativo.

Secante
Por definição temos que secante é a relação do inverso do cosseno.

Assim: secX = 1/cosX

Dado um número real x , tal que x  ã/2 + kã , considerando a reta s tangente ao circulo trigonométrico no ponto P que intercepta o eixo do cosseno no ponto C, definimos por secante o módulo do segmento que vai do centro da circunferência trigonométrica até o ponto S.

Sinal da secante
Quando o ângulo é do primeiro ou do quarto quadrante seu sinal é positivo, quando do segundo ou do terceiro seu sinal é negativo.

Cotangente
Por definição temos que cotangente é a relação do inverso da tangente.

Assim: cotgX = 1/tanX = cosX / senX

Dado um número real x , tal que x  kã, considerando a reta d tangente ao circulo trigonométrico no ponto B seja D o ponto de intersecção da reta d com o segmento OP, definimos por cotangente o módulo do segmento que vai do ponto B até o ponto D.

Sinal da cotangente

Quando o ângulo é do primeiro ou do terceiro quadrante seu sinal é positivo, quando do segundo ou do quarto seu sinal é negativo.

Aula 03: Introdução ao Ciclo trigonométrico

 

O Grau

Definimos como 1 grau o arco equivalente a a circunferência, isto é, em uma circunferência cabem 360 º.

Exemplos:

Dividindo a circunferência em 4, 6 e 8 partes congruentes, temos:


O grau comporta ainda os submúltiplos, minuto(,) e segundo(,,), de forma que:
1º =60' e 1'`=60,,

O Radiano

Definimos 1 radiano como o arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência onde tal arco foi determinado.

A partir da figura, imagine que o arcos AB foi retificado. O Segmento AB obtido, tendo comprimento igual ao raio da circunferência, indica que a medida do arco, em radianos, equivale ao número de vezes que o comprimento do raio cabe nesse arco, ou seja, sendo 1 e R os comprimentos do arco e do raio da circunferência, respectivamente, temos:
a=1/R
Lembramos que o comprimento de uma circunferência de raio R é dado por 2pR. Utilizando a relação apresentada acima, para calcularmos em radianos a medida a de um arco de uma volta, fazemos:
alfa=2pR/R = 2prad

Exemplos:

Conceituando o Ciclo Trigonométrico

As razões trigonométricas, aplicadas a arcos de uma circunferência, mantêm as mesmas propriedades que demonstramos ser válidas quando utilizadas com ângulos agudos.
Inicialmente, deveremos definir uma circunferência, em especial, sobre a qual interpretaremos as nossas já conhecidas razões trigonométricas.
Tal circunferência recebe o nome de circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico.
Imaginemos, primeiramente, um sistema de coordenadas cartesianas, como indicado na figura 1.

(figura 1)
Nos eixos r e s, perpendiculares entre si, cada ponto corresponde a um número real e vice-versa: cada número real tem um ponto associado em cada uma das retas. À interseção dos eixos faremos corresponder o número zero, tanto para o eixo r, das abscissas, como para o eixo s, das ordenadas, constituindo o que chamamos de origem dos eixos coordenados.
Assim, qualquer ponto do plano determinado pode ser representado por um par de números reais, a que chamamos de par ordenado. O ponto P, na figura, terá então as coordenadas (a, b), sendo a a abscissa de P e b a sua ordenada.
Na figura 2, fazemos surgir o ciclo trigonométrico, com centro na origem dos eixos e raio unitário.

(figura 2)
Como consequência, os pontos de interseção da circunferência com o par de eixos, indicados na figura por A, B, C e D, terão coordenadas dadas respectivamente por (1, 0), (0, 1), (_ 1, 0) e (0, _ 1).
Esses pontos dividem o ciclo trigonométrico em quatro arcos congruentes, aos quais damos o nome de quadrantes, numerados a partir de A no sentido anti-horário.
Por convenção, A, B, C e D são apenas limitadores dos quadrantes, não pertencendo a nenhum deles. Por exemplo, D é ponto que separa 3º do 4º quadrantes, mas não lhes pertence.

Números Reais no Ciclo Trigonométrico

Vamos associar a cada número real x um ponto do ciclo trigonométrico, de tal forma que:
_ o ponto A esteja associado ao número x = 0;
_ um número real x seja associado a um ponto P, tal que o comprimento do arco seja igual a | x |;
_ se x > 0, o arco será determinado, sobre o ciclo, no sentido anti-horário; se x < 0, o arco será
definido no sentido horário, como indicamos na figura 3.

(figura 3)
O ponto P, determinado de acordo com o que apresentamos acima, associado a um número real x, é denominado de imagem de x no ciclo trigonométrico.
Lembremos que o comprimento da circunferência trigonométrica pode ser calculado por C = 2R, sendo R o seu raio.
Como ele tem por medida uma unidade, o comprimento do ciclo trigonométrico será igual, portanto, a 2 unidades. Como decorrência, temos que:
_ um arco de uma volta (ou de medida 2 rad) terá comprimento 2 unidades;
_ um arco de comprimento |x|, no ciclo trigonométrico, terá medida |x| rad.
Assim, a medida de um arco , sobre o ciclo trigonométrico, é igual ao módulo do número real x do qual P é a imagem.

 Círculo Trigonométrico é um círculo de centro na origem do referencial e raio igual à unidade, ao qual se encontra associado um referencial ortonormado xOy.

  Consideremos sobre o círculo trigonométrico de centro O, os pontos A e B escolhidos como a figura indica.

  Se aos pontos A e B fizermos corresponder as semi-rectas OA e OB, o par (OA,OB) define um ângulo.

  O ponto O é o vértice do ângulo e as semi-rectas OA e OB são, respectivamente, o lado origem e o lado extremidade.

  Há dois sentidos de percurso num círculo:

   Ângulo positivo (ou directo) é o ângulo gerado no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

   Ângulo negativo (ou indirecto) é o ângulo gerado no sentido dos ponteiros do relógio.

  A um ângulo pode associar-se uma amplitude em sentidos chamando-se então ângulo orientado.

LINHAS TRIGONOMÉTRICAS

  P é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o arco que limita o círculo trigonométrico.

    O seno de a  é a ordenada do ponto P.

    O co-seno de a  é a abcissa do ponto P.

    C é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o eixo das tangentes.

    A tangente de a é a ordenada do ponto C.

    D é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o eixo das co-tangentes.

   A co-tangente de a é a abcissa do ponto C.

Enquadramento de seno e do co-seno

  O sinal de uma razão trigonométrica depende exclusivamente do sinal das coordenadas do ponto associado ao círculo trigonométrico.

    Para todo o a,

                                   

    Para todo o a,

                                   

Redução ao 1º quadrante

  Observando atentamente no círculo trigonométrico cada uma das situações em causa, é possível concluirmos algumas relações importantes entre as relações trigonométricas de certos ângulos.

Ângulos do 1ª Quadrante

Ângulos Complementares: a e  90°- a 

  Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a a e a 90-a, são simétricos em relação à recta de equação y = x. 

    Daí resulta que a abcissa de um é a ordenada do outro e reciprocamente, isto é, 

Ângulos do 2º Quadrante

Ângulos que diferem de 90°: a e  90° + a

  A abcissa de Q é simétrica da ordenada de P, e a ordenada de Q é igual à abcissa de P, isto é,

    Ângulos Suplementares: a e  180° - a

  Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a a e 180°- a, são simétricos em relação ao eixo das ordenadas. Daí resulta que as ordenadas de P e Q são iguais e as suas abcissas são simétricas, isto é,  

Ângulos do 3º Quadrante

Ângulos que diferem de 180º: a e  180° + a

  Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a a e a  180° + a, são simétricos em relação a O.
    Daí resulta que as suas ordenadas e as suas abcissas são simétricas, isto é, 

 Ângulos que somados valem 270º: a e 270º - a

Ângulos do 4º Quadrante
Ângulos que diferem de 270º:  a e 270º + a

Ângulos Simétricos: a e -a

  Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a e -a, são simétricos em relação ao eixo das abcissas.
    Daí resulta que as abcissas de P e Q são iguais e as suas ordenadas são simétricas, isto é, 

    OBS.: As relações que acabamos de estudar são válidas qualquer que seja a amplitude a do ângulo (em graus ou radianos).

    Valores de algumas razões trigonométricas:

0° 30° 45° 60° 90° sen 0 1 cos 1 0 tg 0 1 ¥ cotg ¥ 1 0

Fórmulas Trigonométricas

Fórmula Fundamental
                                         
Fórmulas Secundárias





Fórmulas de Adição


  
  
Fórmulas de Duplicação


  
  
Fórmulas de Bissecção



Fórmulas de Transformação




       


Obs: Os exercícios serão realizados em sala.