O Grau
Definimos como 1 grau o arco equivalente a
a circunferência, isto é, em uma circunferência cabem 360 º.Exemplos:
Dividindo a circunferência em 4, 6 e 8 partes congruentes, temos:
O grau comporta ainda os submúltiplos, minuto(,) e segundo(,,), de forma que:
1º =60' e 1'`=60,,
O Radiano
Definimos 1 radiano como o arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência onde tal arco foi determinado.
a=1/R
Lembramos que o comprimento de uma circunferência de raio R é dado por 2pR. Utilizando a relação apresentada acima, para calcularmos em radianos a medida a de um arco de uma volta, fazemos:
alfa=2pR/R = 2prad
Exemplos:
Conceituando o Ciclo Trigonométrico
As razões trigonométricas, aplicadas a arcos de uma circunferência, mantêm as mesmas propriedades que demonstramos ser válidas quando utilizadas com ângulos agudos.Inicialmente, deveremos definir uma circunferência, em especial, sobre a qual interpretaremos as nossas já conhecidas razões trigonométricas.
Tal circunferência recebe o nome de circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico.
Imaginemos, primeiramente, um sistema de coordenadas cartesianas, como indicado na figura 1.
(figura 1)
Nos eixos r e s, perpendiculares entre si, cada ponto corresponde a um número real e vice-versa: cada número real tem um ponto associado em cada uma das retas. À interseção dos eixos faremos corresponder o número zero, tanto para o eixo r, das abscissas, como para o eixo s, das ordenadas, constituindo o que chamamos de origem dos eixos coordenados.
Assim, qualquer ponto do plano determinado pode ser representado por um par de números reais, a que chamamos de par ordenado. O ponto P, na figura, terá então as coordenadas (a, b), sendo a a abscissa de P e b a sua ordenada.
Na figura 2, fazemos surgir o ciclo trigonométrico, com centro na origem dos eixos e raio unitário.
(figura 2)
Como consequência, os pontos de interseção da circunferência com o par de eixos, indicados na figura por A, B, C e D, terão coordenadas dadas respectivamente por (1, 0), (0, 1), (_ 1, 0) e (0, _ 1).
Esses pontos dividem o ciclo trigonométrico em quatro arcos congruentes, aos quais damos o nome de quadrantes, numerados a partir de A no sentido anti-horário.
Por convenção, A, B, C e D são apenas limitadores dos quadrantes, não pertencendo a nenhum deles. Por exemplo, D é ponto que separa 3º do 4º quadrantes, mas não lhes pertence.
Números Reais no Ciclo Trigonométrico
Vamos associar a cada número real x um ponto do ciclo trigonométrico, de tal forma que:_ o ponto A esteja associado ao número x = 0;
_ um número real x seja associado a um ponto P, tal que o comprimento do arco seja igual a | x |;
_ se x > 0, o arco será determinado, sobre o ciclo, no sentido anti-horário; se x < 0, o arco será
definido no sentido horário, como indicamos na figura 3.
(figura 3)
O ponto P, determinado de acordo com o que apresentamos acima, associado a um número real x, é denominado de imagem de x no ciclo trigonométrico.
Lembremos que o comprimento da circunferência trigonométrica pode ser calculado por C = 2R, sendo R o seu raio.
Como ele tem por medida uma unidade, o comprimento do ciclo trigonométrico será igual, portanto, a 2 unidades. Como decorrência, temos que:
_ um arco de uma volta (ou de medida 2 rad) terá comprimento 2 unidades;
_ um arco de comprimento |x|, no ciclo trigonométrico, terá medida |x| rad.
Assim, a medida de um arco , sobre o ciclo trigonométrico, é igual ao módulo do número real x do qual P é a imagem.
Círculo Trigonométrico é um círculo de centro na origem do referencial e raio igual à unidade, ao qual se encontra associado um referencial ortonormado xOy.
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Consideremos sobre o círculo trigonométrico de centro O, os pontos A e B escolhidos como a figura indica. |
Se aos pontos A e B fizermos corresponder as semi-rectas OA e OB, o par (OA,OB) define um ângulo. |
O ponto O é o vértice do ângulo e as semi-rectas OA e OB são, respectivamente, o lado origem e o lado extremidade. Há dois sentidos de percurso num círculo: Ângulo positivo (ou directo) é o ângulo gerado no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
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Ângulo negativo (ou indirecto) é o ângulo gerado no sentido dos ponteiros do relógio.
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A um ângulo pode associar-se uma amplitude em sentidos chamando-se então ângulo orientado.LINHAS TRIGONOMÉTRICAS
P é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o arco que limita o círculo trigonométrico. O seno de a é a ordenada do ponto P.
O co-seno de a é a abcissa do ponto P.
C é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o eixo das tangentes.
A tangente de a é a ordenada do ponto C.
D é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o eixo das co-tangentes.
A co-tangente de a é a abcissa do ponto C.
Enquadramento de seno e do co-seno
O sinal de uma razão trigonométrica depende exclusivamente do sinal das coordenadas do ponto associado ao círculo trigonométrico. Para todo o a,
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Para todo o a,
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Redução ao 1º quadrante
Observando atentamente no círculo trigonométrico cada uma das situações em causa, é possível concluirmos algumas relações importantes entre as relações trigonométricas de certos ângulos.Ângulos do 1ª Quadrante
Ângulos Complementares: a e 90°- a
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Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a a e a 90-a, são simétricos em relação à recta de equação y = x. Daí resulta que a abcissa de um é a ordenada do outro e reciprocamente, isto é,
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Ângulos do 2º Quadrante
Ângulos que diferem de 90°: a e 90° + a
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A abcissa de Q é simétrica da ordenada de P, e a ordenada de Q é igual à abcissa de P, isto é,    |
Ângulos Suplementares: a e 180° - a
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Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a a e 180°- a, são simétricos em relação ao eixo das ordenadas. Daí resulta que as ordenadas de P e Q são iguais e as suas abcissas são simétricas, isto é,     |
Ângulos do 3º Quadrante
Ângulos que diferem de 180º: a e 180° + a
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Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a a e a 180° + a, são simétricos em relação a O.Daí resulta que as suas ordenadas e as suas abcissas são simétricas, isto é,
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Ângulos que diferem de 270º: a e 270º + a
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Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a e -a, são simétricos em relação ao eixo das abcissas.Daí resulta que as abcissas de P e Q são iguais e as suas ordenadas são simétricas, isto é,
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Valores de algumas razões trigonométricas:
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Fórmulas Trigonométricas
Fórmula Fundamental
Fórmulas Secundárias
Fórmulas de Adição
Fórmulas de Duplicação
Fórmulas de Bissecção
Fórmulas de Transformação
Obs: Os exercícios serão realizados em sala.
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